六、排序

　测试程序

　　后面的例程，都是对数组的排序，使用静态链表的也适用于链表的排序。为简单起见，只对单关键码排序，并且最后的结果都是从头到尾按升序排列。下面是统一的测试程序：

#include <iostream> #include <iomanip> using namespace std; #include <stdlib.h> #include <time.h> #include <math.h> #include "InsertSort.h" #define random(num) (rand() % (num)) #define randomize() srand((unsigned)time(NULL)) #define N 10000 //排序元素的数目 #define SORT InsertSort //排序方法 class timer//单位ms { public: void start() { start_t = clock(); } clock_t time() { return (clock() - start_t); } private: clock_t start_t; }; int KCN, RMN; timer TIMER; void test(int a[]) { TIMER.start(); SORT<int>(a, N, KCN, RMN); cout << "\tTimeSpared: " << TIMER.time() << "ms" << endl; cout << "KCN=" << left << setw(11) << KCN; cout << "KCN/N=" << left << setw(11)<< (double)KCN/N; cout << "KCN/N^2=" << left << setw(11)<< (double)KCN/N/N; cout << "KCN/NlogN=" << left << setw(11)<< (double)KCN/N/log((double)N)*log(2.0) << endl; cout << "RMN=" << left << setw(11) << RMN; cout << "RMN/N=" << left << setw(11)<< (double)RMN/N; cout << "RMN/N^2=" << left << setw(11)<< (double)RMN/N/N; cout << "RMN/NlogN=" << left << setw(11)<< (double)RMN/N/log((double)N)*log(2.0) << endl; } int main() { int i; //randomize();为了在相同情况下比较各个排序算法，不加这句 int* ascending = new int[N];//升序序列 int* descending = new int[N];//降序序列 int* randomness = new int[N];//随机序列 for (i = 0; i < N; i++) { ascending[i] = i; randomness[i] = i; descending[i] = N - i - 1;} for (i = 0; i < N; i++) swap(randomness[i], randomness[random(N)]); cout << "Sort ascending N=" << N; test(ascending); cout << "Sort randomness N=" << N; test(randomness); cout << "Sort descending N=" << N; test(descending); return 0; }

　　需要说明一点，KCN（关键码比较次数）、RMN（记录移动次数）并不是算法必须的，是为了对算法的性能有个直观的评价（不用那些公式算来算去）。对10000个整数排序应该是最省事的测试手段，建议不要再增多记录数目了，一是在最坏的情况不用等太久的时间，二是避免KCN、RMN溢出，另外有些递归的算法在情况比较糟的时候，记录数目太多堆栈可能会溢出，导致程序崩溃。

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　插入排序

　　基本思想是，每步将一个待排序的记录，按其关键码大小，插入到前面已经排好序的记录的适当位置，从头做到尾就可以了。

　　直接插入排序

template <class T> void InsertSort(T a[], int N, int& KCN, int& RMN) { KCN = 0; RMN = 0; for (int i = 1; i < N; i++) { T temp = a[i]; RMN++; for (int j = i; j > 0 && ++KCN && temp < a[j - 1]; j--) { a[j] = a[j - 1]; RMN++; } a[j] = temp; RMN++; } }

　　精简之后就是这样：

template<class T> void InsertSort(T a[], int N) { for (int i = 1; i < N; i++) { T temp = a[i]; for (int j = i; j > 0 && temp < a[j - 1]; j--) a[j] = a[j - 1]; a[j] = temp; } }

　　测试结果：

Sort ascending N=10000 TimeSpared: 0ms KCN=9999 KCN/N=0.9999 KCN/N^2=9.999e-005 KCN/NlogN=0.07525 RMN=19998 RMN/N=1.9998 RMN/N^2=0.00019998 RMN/NlogN=0.1505 Sort randomness N=10000 TimeSpared: 330ms KCN=24293730 KCN/N=2429.37 KCN/N^2=0.242937 KCN/NlogN=182.829 RMN=24303739 RMN/N=2430.37 RMN/N^2=0.243037 RMN/NlogN=182.904 Sort descending N=10000 TimeSpared: 711ms KCN=49995000 KCN/N=4999.5 KCN/N^2=0.49995 KCN/NlogN=376.25 RMN=50014998 RMN/N=5001.5 RMN/N^2=0.50015 RMN/NlogN=376.4

　　可以看出，平均性能近似为n2/4，书上没有骗人（废话，多少人做过多少试验才得出的结论）。

　　折半插入排序

　　将直插排序中的搜索策略由顺序搜索变为折半搜索，便能得到此种排序方法。显而易见，只能减少KCN，不能减少RMN，所能带来的性能提升也不会太大。

template<class T> void BinaryInsertSort(T a[], int N, int& KCN, int& RMN) { KCN = 0; RMN = 0; for (int i = 1; i < N; i++) { T temp = a[i]; RMN++; int low = 0, high = i - 1; while (low <= high)//折半查找 { int mid = (low + high) / 2; if (++KCN && temp < a[mid]) high = mid - 1; else low = mid + 1; } for (int j = i - 1; j >= low; j--) { a[j + 1] = a[j]; RMN++; }//记录后移 a[low] = temp; RMN++;//插入 } }

　　测试结果：

Sort ascending N=10000 TimeSpared: 0ms KCN=123617 KCN/N=12.3617 KCN/N^2=0.00123617 KCN/NlogN=0.930311 RMN=19998 RMN/N=1.9998 RMN/N^2=0.00019998 RMN/NlogN=0.1505 Sort randomness N=10000 TimeSpared: 320ms KCN=118987 KCN/N=11.8987 KCN/N^2=0.00118987 KCN/NlogN=0.895466 RMN=24303739 RMN/N=2430.37 RMN/N^2=0.243037 RMN/NlogN=182.904 Sort descending N=10000 TimeSpared: 631ms KCN=113631 KCN/N=11.3631 KCN/N^2=0.00113631 KCN/NlogN=0.855158 RMN=50014998 RMN/N=5001.5 RMN/N^2=0.50015 RMN/NlogN=376.4

　　可以看到KCN近似为nlog2n，有一定的性能提升。

　　表插入排序

　　如果用“指针”来表示记录间的顺序，就可以避免大量的记录移动，当然，最后还是要根据“指针”重排一下。自然的，折半查找在这里用不上了。

template <class T> void TableInsertSort(T a[], int N, int& KCN, int& RMN) { KCN = 0; RMN = 0; int* link = new int[N]; int head = 0, pre, cur, i; link[0] = -1; for (i = 1; i < N; i++) { if (a[head] > a[i]) { link[i] = head; head = i; KCN++;}//没设表头，因此需要此判断，失败时此次判断没记入KCN else { for (cur = head; cur != -1&& ++KCN && a[cur] <= a[i]; cur = link[cur]) pre = cur; link[pre] = i; link[i] = cur; } } cur = head;//重排序列 for (i = 0; i < N; i++) { while (cur < i) cur = link[cur]; pre = link[cur]; if (cur != i) { swap(a[i], a[cur]); RMN += 3; link[cur] = link[i]; link[i] = cur; } cur = pre; } delete []link; }

　　测试结果：

Sort ascending N=10000 TimeSpared: 751ms KCN=49995000 KCN/N=4999.5 KCN/N^2=0.49995 KCN/NlogN=376.25 RMN=0 RMN/N=0 RMN/N^2=0 RMN/NlogN=0 Sort randomness N=10000 TimeSpared: 621ms KCN=25721250 KCN/N=2572.13 KCN/N^2=0.257213 KCN/NlogN=193.572 RMN=29955 RMN/N=2.9955 RMN/N^2=0.00029955 RMN/NlogN=0.225434 Sort descending N=10000 TimeSpared: 0ms KCN=9999 KCN/N=0.9999 KCN/N^2=9.999e-005 KCN/NlogN=0.07525 RMN=15000 RMN/N=1.5 RMN/N^2=0.00015 RMN/NlogN=0.112886

　　可以看到，确实减少了RMN，理论上RMNmax＝3（n－1）。然而，就平均情况而言，性能还不如简单的直插——这是由于测试对象是整数的缘故。对于链表来说，这种方法就不需要最后的重排了。关于重排的算法在严蔚敏的《数据结构（C语言版）》上有详细的说明。
　希尔排序

　　前面的算法的平均效率都不怎么好，但我们注意到直插排序在关键码基本有序的情况下，效率是最好的，并且，在关键码的数量很少的时候，n和n2的差距也不是那么的明显。基于以上的事实，D.L.Shell在1959年（老古董了）提出了缩小增量排序，基本思想是：取一个间隔（gap），将序列分成若干的子序列，对每个子序列进行直插排序；然后逐渐缩小间隔，重复以上过程，直到间隔为1。在开始的时候，每个子序列里关键码很少，直插的效率很高；随着间隔的缩小，子序列的关键码越来越多，但是在前面的排序基础上，关键码已经基本有序，直插的效率依然很高。

　　希尔排序的时间复杂度不好估量，gap的选取也没有定论，gap＝[gap/2]的程序是最好写的，至于为什么，写写就知道了。

template <class T> void ShellSort(T a[], int N, int& KCN, int& RMN) { KCN = 0; RMN = 0; for (int gap = N/2; gap; gap = gap/2) for (int i = gap; i < N; i++) { T temp = a[i]; RMN++; for (int j = i; j >= gap && ++KCN && temp < a[j - gap]; j -= gap) { a[j] = a[j - gap]; RMN++; } a[j] = temp; RMN++; } }

　　测试结果：

Sort ascending N=10000 TimeSpared: 0ms KCN=120005 KCN/N=12.0005 KCN/N^2=0.00120005 KCN/NlogN=0.903128 RMN=240010 RMN/N=24.001 RMN/N^2=0.0024001 RMN/NlogN=1.80626 Sort randomness N=10000 TimeSpared: 10ms KCN=258935 KCN/N=25.8935 KCN/N^2=0.00258935 KCN/NlogN=1.94868 RMN=383849 RMN/N=38.3849 RMN/N^2=0.00383849 RMN/NlogN=2.88875 Sort descending N=10000 TimeSpared: 10ms KCN=172578 KCN/N=17.2578 KCN/N^2=0.00172578 KCN/NlogN=1.29878 RMN=302570 RMN/N=30.257 RMN/N^2=0.0030257 RMN/NlogN=2.27707

　　注意到这时的测试结果很不准确了，10000个整数的排序已经测试不出什么来了（估计新机器都是0ms，我这里也有个别的时候全是0）。因此，下面用100000个整数的排序重新测试了一次：

Sort ascending N=100000 TimeSpared: 140ms KCN=1500006 KCN/N=15.0001 KCN/N^2=0.000150001KCN/NlogN=0.903094 RMN=3000012 RMN/N=30.0001 RMN/N^2=0.000300001RMN/NlogN=1.80619 Sort randomness N=100000 TimeSpared: 230ms KCN=4041917 KCN/N=40.4192 KCN/N^2=0.000404192KCN/NlogN=2.43348 RMN=5598883 RMN/N=55.9888 RMN/N^2=0.000559888RMN/NlogN=3.37086 Sort descending N=100000 TimeSpared: 151ms KCN=2244585 KCN/N=22.4459 KCN/N^2=0.000224459KCN/NlogN=1.35137 RMN=3844572 RMN/N=38.4457 RMN/N^2=0.000384457RMN/NlogN=2.31466

　　这个结果表明，希尔排序几乎没有最坏情况，无论是正序、逆序、乱序，所用时间都不是很多，附加储存是O(1)，的确非常不错。在没搞清楚快速排序、堆排序之前，它的确是个很好的选择，我当年一直用它。

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　交换排序

　　基本思想是：两两比较待排序记录的关键码，如果发生逆序，则交换之，直到所有对象都排好为止。

　　起泡排序

　　起泡排序是比较相邻的两个记录，逆序则交换。这样的做法导致小的关键码一层层的浮上来，因此得名。CSDN的论坛曾经讨论过“冒泡”和“起泡”是不是一个东西，看来这是翻译惹的祸，英文名都是Bubble Sort，具体写的时候可以正着排，也可以倒着排。（严版是从后往前排，殷版是从前往后排，好在两本书都翻译为“起泡排序”，不然就正像某些人得出的结论——一个是从后往前排，一个是从前往后排）

template <class T> void BubbleSort(T a[], int N, int& KCN, int& RMN) { KCN = 0; RMN = 0; bool exchange = true; for (int i = 1; i < N && exchange; i++) for (int j = N - 1; j >= i; j--) { exchange = false; if (++KCN && a[j - 1] > a[j]) { swap(a[j - 1], a[j]); exchange = true; RMN += 3; } } }

　　需要注意的是，不要写成下面这个样子，虽然结果是对的：

template <class T> void BubbleSort2(T a[], int N) { for (int i = 0; i < N; i++) for (int j = 1; j < N - i; j++) if (a[j - 1] > a[j]) swap(a[j - 1], a[j]); }

　　测试结果：

Sort ascending N=10000 TimeSpared: 0ms KCN=9999 KCN/N=0.9999 KCN/N^2=9.999e-005 KCN/NlogN=0.07525 RMN=0 RMN/N=0 RMN/N^2=0 RMN/NlogN=0 Sort randomness N=10000 TimeSpared: 1161ms KCN=45409094 KCN/N=4540.91 KCN/N^2=0.454091 KCN/NlogN=341.737 RMN=71526984 RMN/N=7152.7 RMN/N^2=0.71527 RMN/NlogN=538.294 Sort descending N=10000 TimeSpared: 1022ms KCN=49995000 KCN/N=4999.5 KCN/N^2=0.49995 KCN/NlogN=376.25 RMN=149985000 RMN/N=14998.5 RMN/N^2=1.49985 RMN/NlogN=1128.75

　　可以看出，效率非常的差，还不如直插排序，真不知道为什么人们对此津津乐道，难道是为了理解快速排序？另外还有一个有趣的现象，虽然逆序的KCN和RMN都比乱序的多，但是逆序花的时间却比乱序少，从这里可以看到CPU流水线的作用，这里可以给我们一个信号，一个真正好的算法需要充分利用硬件的特性。增多记录数目（N＝1000000）时，可以看出，在完全有序的情况下，起泡比直插要好一些，因为此时不需要移动记录。

　　快速排序

　　真为这个算法感到悲哀，连一个能表明算法实质的名字（比如直插、表插）都没有，也不像希尔排序是以发明人的名字命名的，难道就是因为它太快了？也许“快速”是对一个排序算法最高的荣誉吧。

　　基本思想是：任取待排序列的某个记录作为基准，按照该关键码大小，将整个序列分成两个序列——左侧的所有记录的关键码都比基准小（或者等），右侧的都比基准大，基准则放在两个子序列之间，显然这时基准放在了最后应该放置的位置。分别对左右子序列重复上面的过程，直到最后所有的记录都放在相应的位置。

　　下面的例程不容易看懂，因为这是几次改进之后的样子：

template <class T> int Partition(T a[], int left, int right, int& KCN, int& RMN) { int pivotpos = left; T pivot = a[left];//枢轴 for (int i = left + 1; i <= right; i++) if (++KCN && a[i] < pivot && ++pivotpos != i) { swap(a[i], a[pivotpos]); RMN += 3;} swap(a[left], a[pivotpos]); RMN += 3; return pivotpos; }

　　将计算枢轴位置单独作为一个函数，可以避免递归的时候保存无用的临时变量。当你决定使用递归的时候，都要注意这点——将一切可以放在递归外面的都放在外面。注意这个函数是怎样达到我们“枢轴左边都比它小，右边都比它大”的目的的。

template <class T> void QSRecurve(T a[], int left, int right, int& KCN, int& RMN) { if (left < right) { int pivotpos = Partition<T>(a, left, right, KCN, RMN); QSRecurve<T>(a, left, pivotpos - 1, KCN, RMN); QSRecurve<T>(a, pivotpos + 1, right, KCN, RMN); } } template <class T> void QuickSort(T a[], int N, int& KCN, int& RMN) { KCN = 0; RMN = 0; QSRecurve<T>(a, 0, N - 1, KCN, RMN); }

　　这两个只能算个外壳了，尤其是最后一个。

　　测试结果：

Sort ascending N=10000 TimeSpared: 1051ms KCN=49995000 KCN/N=4999.5 KCN/N^2=0.49995 KCN/NlogN=376.25 RMN=29997 RMN/N=2.9997 RMN/N^2=0.00029997 RMN/NlogN=0.22575 Sort randomness N=10000 TimeSpared: 0ms KCN=155655 KCN/N=15.5655 KCN/N^2=0.00155655 KCN/NlogN=1.17142 RMN=211851 RMN/N=21.1851 RMN/N^2=0.00211851 RMN/NlogN=1.59434 Sort descending N=10000 TimeSpared: 1082ms KCN=49995000 KCN/N=4999.5 KCN/N^2=0.49995 KCN/NlogN=376.25 RMN=29997 RMN/N=2.9997 RMN/N^2=0.00029997 RMN/NlogN=0.22575

　　可以看到，平均性能非常好，但是在两端的性能还不如直插。测试N＝100000的情况如下（千万记住把正序和逆序的测试注释掉，否则，到时候“死机”不要找我）

Sort randomness N=100000 TimeSpared: 110ms KCN=2123221 KCN/N=21.2322 KCN/N^2=0.000212322KCN/NlogN=1.27831 RMN=3010848 RMN/N=30.1085 RMN/N^2=0.000301085RMN/NlogN=1.81271

　　确实非常的“快速”，但是它的最坏情况实在让人不能放心，万一……，并且由于使用堆栈递归，出了最坏情况没准程序就崩溃了。为了减低这种不良倾向，改进办法是“三者取中”，即选取待排序序列的第一个、最后一个、中间一个的关键码居中的那个作为基准。只要改一下Partition函数就可以了。

template <class T> int Partition(T a[], int left, int right, int& KCN, int& RMN) { int mid = (left + right) / 2; if (++KCN && a[left] > a[mid]) { if (++KCN && a[left] > a[right]) { if (++KCN && a[mid] > a[right]) { swap(a[mid], a[left]); RMN += 3; } else { swap(a[right], a[left]); RMN += 3; } } } else { if (++KCN && a[left] < a[right]) { if (++KCN && a[mid] < a[right]) { swap(a[mid], a[left]); RMN += 3; } else { swap(a[right], a[left]); RMN += 3; } } } int pivotpos = left; T pivot = a[left];//枢轴 for (int i = left + 1; i <= right; i++) if (++KCN && a[i] < pivot && ++pivotpos != i) { swap(a[i], a[pivotpos]); RMN += 3;} swap(a[left], a[pivotpos]); RMN += 3; return pivotpos; }

　　只是在原有的Partition函数上添加了粗体部分。下面是测试结果：

Sort ascending N=10000 TimeSpared: 0ms KCN=131343 KCN/N=13.1343 KCN/N^2=0.00131343 KCN/NlogN=0.988455 RMN=35424 RMN/N=3.5424 RMN/N^2=0.00035424 RMN/NlogN=0.266592 Sort randomness N=10000 TimeSpared: 0ms KCN=154680 KCN/N=15.468 KCN/N^2=0.0015468 KCN/NlogN=1.16408 RMN=204093 RMN/N=20.4093 RMN/N^2=0.00204093 RMN/NlogN=1.53595 Sort descending N=10000 TimeSpared: 280ms KCN=12517506 KCN/N=1251.75 KCN/N^2=0.125175 KCN/NlogN=94.2036 RMN=45006 RMN/N=4.5006 RMN/N^2=0.00045006 RMN/NlogN=0.338704

　　下面是N＝100000的测试结果，在逆序的时候还是很尴尬，不过还算说得过去。

Sort ascending N=100000 TimeSpared: 60ms KCN=1665551 KCN/N=16.6555 KCN/N^2=0.000166555KCN/NlogN=1.00276 RMN=393210 RMN/N=3.9321 RMN/N^2=3.9321e-005RMN/NlogN=0.236736 Sort randomness N=100000 TimeSpared: 110ms KCN=1888590 KCN/N=18.8859 KCN/N^2=0.000188859KCN/NlogN=1.13704 RMN=2659857 RMN/N=26.5986 RMN/N^2=0.000265986RMN/NlogN=1.60139 Sort descending N=100000 TimeSpared: 42120ms KCN=1250175006 KCN/N=12501.8 KCN/N^2=0.125018 KCN/NlogN=752.68 RMN=450006 RMN/N=4.50006 RMN/N^2=4.50006e-005RMN/NlogN=0.270931

　　然而实际上，我们花那么多语句搞一个“三者取中”还不如直接“随便选一个”来得高效，例如将下面的语句替换掉原来的粗体语句：

swap(a[left], a[rnd(right-left)+left]); RMN += 3;

　　测试结果：

Sort ascending N=100000 TimeSpared: 90ms KCN=1917756 KCN/N=19.1776 KCN/N^2=0.000191776KCN/NlogN=1.1546 RMN=378810 RMN/N=3.7881 RMN/N^2=3.7881e-005RMN/NlogN=0.228066 Sort randomness N=100000 TimeSpared: 120ms KCN=1979189 KCN/N=19.7919 KCN/N^2=0.000197919KCN/NlogN=1.19159 RMN=3175977 RMN/N=31.7598 RMN/N^2=0.000317598RMN/NlogN=1.91213 Sort descending N=100000 TimeSpared: 110ms KCN=2069369 KCN/N=20.6937 KCN/N^2=0.000206937KCN/NlogN=1.24588 RMN=2574174 RMN/N=25.7417 RMN/N^2=0.000257417RMN/NlogN=1.54981

　　可以看到逆序的效率有了质的飞跃，随机函数得自己写，因为库函数的rand()最大只能输出0x7fff，这是因为rand函数使用的是32bit的整数，为了不溢出（最严重的是出负数），只能输出那么大。一个不太严格的随机函数如下，最大输出值是32bit的最大正整数：

int rnd(int n) { static _int64 x; x = (2053 * x + 13849) % 0x7fffffff; return (int)x % n; } 　选择排序 　　基本思想是：每次选出第i小的记录，放在第i个位置（i的起点是0，按此说法，第0小的记录实际上就是最小的，有点别扭，不管这么多了）。当i＝N－1时就排完了。 　　直接选择排序 　　直选排序简单的再现了选择排序的基本思想，第一次寻找最小元素的代价是O(n)，如果不做某种特殊处理，每次都使用最简单的寻找方法，自然的整个排序的时间复杂度就是O(n2)了。 template <class T> void SelectSort(T a[], int N, int& KCN, int& RMN) { KCN = 0; RMN = 0; for (int i = 0; i < N; i++) { for (int j = i + 1, k = i; j < N; j++) if (++KCN && a[j] < a[k]) k = j;//select min if (k != i) { swap(a[k], a[i]); RMN += 3; } } } 　　测试结果： Sort ascending N=10000 TimeSpared: 721ms KCN=49995000 KCN/N=4999.5 KCN/N^2=0.49995 KCN/NlogN=376.25 RMN=0 RMN/N=0 RMN/N^2=0 RMN/NlogN=0 Sort randomness N=10000 TimeSpared: 711ms KCN=49995000 KCN/N=4999.5 KCN/N^2=0.49995 KCN/NlogN=376.25 RMN=29955 RMN/N=2.9955 RMN/N^2=0.00029955 RMN/NlogN=0.225434 Sort descending N=10000 TimeSpared: 711ms KCN=49995000 KCN/N=4999.5 KCN/N^2=0.49995 KCN/NlogN=376.25 RMN=15000 RMN/N=1.5 RMN/N^2=0.00015 RMN/NlogN=0.112886 　　可以看到KCN固定为n(n-1)/2。另外一件有趣的事是，RMN＝0的正序花的时间居然比RMN接近3(n-1)的乱序还多。一是说明测试精度不够，在我的机器上多次测试结果上下浮动10ms是常有的事；二是说明和KCN的n(n-1)/2相比，RMN的3(n-1)有些微不足道。 　　锦标排序 　　从直选排序看来，算法的瓶颈在于KCN，而实际上，对于后续的寻找最小值来说，时间复杂度可以降到O(logn)。最为直接的做法是采用锦标赛的办法，将冠军拿走之后，只要把冠军打过的比赛重赛一遍，那么剩下的人中的“冠军”就产生了，而重赛的次数就是竞赛树的深度。实际写的时候，弄不好就会写得很“蠢”，不只多余占用了大量内存，还会导致无用的判断。我没见过让人满意的例程（殷版上的实在太恶心了），自己又写不出来漂亮的，也就不献丑了（其实这是惰性的缘故，有了快排之后，大多数人都不会对其他内排感兴趣，除了基数排序）。实在无聊的时候，不妨写（或者改进）锦标排序来打发时间，^_^。 　　堆排序 　　锦标排序的附加储存太多了，而高效的寻找最大值或最小值（O(logn)），我们还有一种方法是堆。这里使用了最大堆，用待排记录的空间充当堆空间，将堆顶的记录（目前最大）和堆的最后一个记录交换，当堆逐渐缩小成1的时候，记录就排序完成了。显而易见的，时间复杂度为O(nlogn)，并且没有很糟的情况。 template <class T> void FilterDown(T a[], int i, int N, int& KCN, int& RMN) { int child = 2 * i + 1; T temp = a[i]; while (child < N) { if (child < N - 1 && a[child] < a[child+1]) child++; if (++KCN && temp >= a[child]) break;//不需调整，结束调整 a[i] = a[child]; RMN++; i = child; child = 2 * i + 1; } a[i] = temp; RMN++; } template <class T> void HeapSort(T a[], int N, int& KCN, int& RMN) { int i; for (i = (N - 2)/2; i >= 0; i--) FilterDown<T>(a, i, N, KCN, RMN);//生成最大堆 for (i = N - 1; i > 0; i--) { swap(a[0], a[i]); RMN += 3; FilterDown(a, 0, i, KCN, RMN); } } 　　测试结果，直接测试的是N=100000： Sort ascending N=100000 TimeSpared: 110ms KCN=1556441 KCN/N=15.5644 KCN/N^2=0.000155644KCN/NlogN=0.937071 RMN=2000851 RMN/N=20.0085 RMN/N^2=0.000200085RMN/NlogN=1.20463 Sort randomness N=100000 TimeSpared: 160ms KCN=3047006 KCN/N=30.4701 KCN/N^2=0.000304701KCN/NlogN=1.83448 RMN=3898565 RMN/N=38.9857 RMN/N^2=0.000389857RMN/NlogN=2.34717 Sort descending N=100000 TimeSpared: 90ms KCN=4510383 KCN/N=45.1038 KCN/N^2=0.000451038KCN/NlogN=2.71552 RMN=5745996 RMN/N=57.46 RMN/N^2=0.0005746 RMN/NlogN=3.45943 　　整体性能非常不错，附加储存1，还没有很糟的情况，如果实在不放心快排的最坏情况，堆排确实是个好选择。这里仍然出现了KCN、RMN多的反而消耗时间少的例子——误差70ms是不可能的，看来CPU优化的作用还是非常明显的（可能还和Cache有关）。