重庆建设中学 杨宏伟
我们知道计算机的计算精度不是无限大的，甚至是十分有限的。CPU的字长和操作系统的处理能力直接制约着运算精度和运算能力。随着计算机应用的深入，人们对计算能力的需求，尤其是精度的需求，越来越高。虽然目前32位CPU及操作系统提供的计算精度，较之从前已有很大的提高，而且精度更高的64位CPU及操作系统正在普及，但是，对许多计算机应用课题来说，能不能具有不直接依赖硬件条件的高精度、高性能计算能力仍是至关重要的。为此，设计高精度计算的软件包，用软件方法实现高精度计算，是一件有实用价值的工作。例如，目前在电子商务应用中，密码的校验及计算就是对高精度计算的典型需求。
分析问题
由于C语言具有执行效率高、支持动态存储分配等特点，我们选用C语言编写了一套工具函数，供高精度计算使用。乘法运算在计算机运算中是一种基本运算，它的计算过程对整个计算效率有举足轻重的影响。仔细研究乘法运算对高精度计算十分必要。
为了实现高精度计算，首先要建立高精度的数据表示方法。我们采用将整数和小数分开，组成两个队列的方法存储数据。这种方法不仅节约存储空间，而且有利于确保整数运算的精度。
描述运算对象的数据结构如下：
struct VARARRAY {
char cDigit; //保存数据位
//指向下一个数据位
struct VARARRAY ＊ spNext;
};
struct SUPERNUMBER
{
//指向最低位整数
struct VARARRAY ＊ spIntPart;
//指向最低位小数
struct VARARRAY ＊ spDecPart;
//指向最高位整数
struct VARARRAY ＊ spIntLast;
//指向最高位小数
struct VARARRAY ＊ spDecLast;
int iNumberInt; //整数位数
int iNumberDec; //小数位数
char cSign;
}; //符号位
在用SUPERNUMBER结构描述运算对象的基础上，我们定义了一套函数，全面实现SUPERNUMBER型数据的输入、输出、赋值、比较、加、减、乘、除、整除等运算功能。本文重点介绍无精度损失的乘法计算方法及主要函数的设计。
乘法算法
为了不损失计算精度，我们将乘法转换为加法实现，基本算法如下：
1．将数符较多的数据表示为X，作为加数，数符较少的数据表示为Y，控制加法次数；
2．如果Y含有小数部分，将Y转变为纯整数YDEC，并记录小数点的右移位数I；
3．初始化返回值T为0，取得Y的位数WIDTH，设计数器COUNT为0；
4．取Y右侧第COUNT＋1位，以此数为次数加X，再左移COUNT位，加到T中；
5．把COUNT加1；
6．若COUNT等于WIDTH，转下一步，否则转第4步；
7．将T中的小数点左移I位；
8．返回T，得到乘法结果。
本算法的特点是加法次数少，若Y的宽度为W，最多进行9×W次加法及W次移位即可。
乘法函数
乘法函数通过把两个SUPERNUMBER型的数据相加实现运算目的，其结果通过指针返回。
struct SUPERNUMBER ＊ su_mu(
struct SUPERNUMBER ＊ spSourceOne,
struct SUPERNUMBER ＊ spSourceTwo)
{
struct SUPERNUMBER ＊ spNew;
struct SUPERNUMBER ＊ spYDec;
struct SUPERNUMBER ＊ spX，＊ spY，＊ spC，＊ spT;
struct VARARRAY ＊ spTem;
int iYDec,iWidth,iDigit,iC1,iC2;
spNew=su_as(“0”);
if (spSourceOne－>iNumberInt＋spSourceOne－>iNumberDec>=spSourceTwo－>iNumberInt＋
spSourceTwo－>iNumberDec){
spX=su_co(spSourceOne);
spY=su_co(spSourceTwo);
}
else{
spY=su_co(spSourceOne);
spX=su_co(spSourceTwo);
}
iYDec=spY－>iNumberDec;
spYDec=su_mo(spY,iYDec);
iWidth=spYDec－>iNumberInt;
spTem=spYDec－>spIntPart;
for(iC1=0;iC1<iWidth;iC1＋＋)
{
iDigit=(int)(spTem－>cDigit－‘0’);
spTem=spTem－>spNext;
spC=su_as(“0”);
for(iC2=0;iC2<iDigit;iC2＋＋)
{
spT=su_ad(spC,spX);
su_fr(spC);
spC=su_co(spT);
su_fr(spT);
}
spT=su_mo(spC,iC1);
su_fr(spC);
spC=su_ad(spNew,spT);
su_fr(spNew);su_fr(spT);
spNew=su_co(spC);
su_fr(spC);
}
spT=su_mo(spNew,－iYDec);
su_fr(spNew);
spNew=su_co(spT);
su_fr(spT);
su_fr(spYDec);
su_fr(spX);
su_fr(spY);
return spNew;
}
在此函数中，我们使用了在高精度计算软件包中定义的其他函数（本文省略其实现代码），主要有：
1．将字符串转化为SUPERNUMBER类型：
struct SUPERNUMBER ＊ su_as(char＊zpSource);
2．将一个SUPERNUMBER复制到另一个SUPERNUMBER中：
struct SUPERNUMBER ＊ su_co(struct SUPERNUMBER ＊ spSource);
3．两个SUPERNUMBER的“等于”关系运算，若相等，返回1：
int su_ee(struct SUPERNUMBER ＊ spSource, struct SUPERNUMBER ＊ spDesti);
4．两个SUPERNUMBER数的加法运算：
struct SUPERNUMBER ＊ su_ad(struct
SUPERNUMBER ＊ spSource,struct SUPERNUMBER ＊ spDestination);
5．SUPERNUMBER与用整数表示的数据的加法运算：
struct SUPERNUMBER ＊ su_si(
struct
SUPERNUMBER ＊ spSource, int iDesti);
6．移动小数点：
struct SUPERNUMBER ＊ su_mo(struct
SUPERNUMBER ＊ spSource, int iNum);
7．释放SUPERNUMBER数据的存储空间：
void su_fr(struct SUPERNUMBER ＊ spSource)；
应用实例
当我们计算16的阶乘时，常规的方法难于直接得到正确的结果，即使定义长整型(long int)数据，在计算出11的阶乘39916800之后，也开始出现数据错误。但是利用本文介绍的方法，可精确地计算出从1到16的阶乘值。代码如下：
FILE ＊ fp;
struct SUPERNUMBER ＊ spX;
struct SUPERNUMBER ＊ spY;
struct SUPERNUMBER ＊ spZ;
struct SUPERNUMBER ＊ spSum;
fp=fopen(“abcd.txt”,“a＋”);
if (fp==NULL) MessageBox(hWndMain,“file error”,“”,MB_OK);
//初始化变量
spX=su_as(“0”);
spY=su_as(“30”);
spSum=su_as(“1”);
//计算从1到16的阶乘值
lp: spZ=su_si(spX,1);
su_fr(spX);
spX=su_co(spZ);
su_fr(spZ); spZ=su_mu(spSum,spX);
su_fr(spSum);
spSum=su_co(spZ);
su_fr(spZ);
su_os(spSum);
su_of(spX,fp);
su_of(spSum,fp);
if (!su_ee(spY,spX)) goto lp;
fclose(fp);
运算结果为：
1 ! 1 2! 2
3 ! 6 4! 24
…
13 ! 6227020800 14! 87178291200
15 ! 1307674368000 16! 20922789888000